Prophet 线性插值算法详解与 Python 代码实战

Prophet 线性插值算法详解与 Python 代码实战

大家好，我是你们的技术老 বন্ধু 序哥。今天咱们来聊聊 Facebook 开源的时间序列预测神器 Prophet 中的一个重要组成部分：线性插值算法。相信不少搞数据分析、机器学习的小伙伴都或多或少接触过 Prophet，它在处理具有季节性和趋势性的时间序列数据时表现非常出色。但是，在使用 Prophet 的过程中，你有没有思考过它是如何处理缺失值的呢？没错，Prophet 内部就使用了线性插值算法来填充缺失数据。那么，什么是线性插值？Prophet 又是如何具体实现线性插值的？别急，接下来序哥就带你一步步揭开它的神秘面纱。

什么是线性插值？

在开始深入代码之前，咱们先来搞清楚线性插值的基本概念。想象一下，你手里有一组时间序列数据，但是由于各种原因（比如传感器故障、数据传输错误等），其中有一些数据点缺失了。这时候，我们就需要想办法把这些缺失的数据补上，而线性插值就是一种常用的数据填充方法。

线性插值的基本思想非常简单：假设缺失点两侧的数据点是已知的，那么我们可以用一条直线连接这两个已知点，然后根据缺失点的时间戳，在这条直线上找到对应的值，作为缺失点的估计值。是不是很简单粗暴？但是，在很多情况下，这种简单的方法却非常有效。

用数学公式来表示的话，假设我们有两个已知点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，其中 x 表示时间戳，y 表示对应的值。现在有一个缺失点 x，我们需要估计它的值 y。那么，根据线性插值的公式，我们可以这样计算：

y = y1 + (y2 - y1) * (x - x1) / (x2 - x1)

这个公式看起来有点复杂，但其实就是初中数学里学过的两点式直线方程。你可以把它理解为：缺失点的估计值 = 第一个已知点的值 + (第二个已知点的值 - 第一个已知点的值) * (缺失点的时间戳 - 第一个已知点的时间戳) / (第二个已知点的时间戳 - 第一个已知点的时间戳)。

Prophet 中的线性插值实现

了解了线性插值的基本原理之后，我们来看看 Prophet 是如何具体实现线性插值的。在 Prophet 的源码中，线性插值的实现主要位于 forecaster.py 文件中的 _linear_interpolation 函数中。为了方便大家理解，我把这个函数的代码简化了一下，并加上了详细的注释：

import numpy as np
import pandas as pd
 
def _linear_interpolation(ts, missing_dates):
    """
    Prophet 中线性插值的核心函数。
 
    参数：
        ts (pd.Series): 包含缺失值的时间序列数据。
        missing_dates (pd.DatetimeIndex): 缺失日期的索引。
 
    返回：
        pd.Series: 经过线性插值填充后的时间序列数据。
    """
    # 复制一份时间序列数据，避免修改原始数据
    ts_interp = ts.copy()
 
    # 遍历所有缺失日期
    for date in missing_dates:
        # 找到缺失日期前后的第一个非缺失值
        prev_date = ts[ts.index < date].dropna().index[-1] if len(ts[ts.index < date].dropna()) >0 else None
        next_date = ts[ts.index > date].dropna().index[0] if len(ts[ts.index > date].dropna()) >0 else None
 
        # 如果缺失日期前后都有非缺失值，则进行线性插值
        if prev_date is not None and next_date is not None:
            prev_val = ts[prev_date]
            next_val = ts[next_date]
            # 使用线性插值公式计算缺失值
            ts_interp[date] = prev_val + (next_val - prev_val) * (date - prev_date).total_seconds() / (next_date - prev_date).total_seconds()
        # 如果缺失日期前面没有非缺失值,则用后面的值填充。
        elif next_date is not None:
             ts_interp[date] = ts[next_date]
        # 如果缺失日期后面没有非缺失值,则用前面的值填充。
        elif prev_date is not None:
             ts_interp[date] = ts[prev_date]
 
    return ts_interp

这段代码的核心逻辑如下：

1. 复制时间序列数据： 首先，为了避免修改原始数据，我们创建了一个时间序列数据的副本 ts_interp。
2. 遍历缺失日期： 然后，我们遍历所有缺失日期 missing_dates。
3. 查找前后非缺失值： 对于每个缺失日期，我们分别查找它之前的第一个非缺失值 prev_date 和之后的第一个非缺失值 next_date。
4. 线性插值： 如果 prev_date 和 next_date 都存在（即缺失日期前后都有非缺失值），我们就使用前面介绍的线性插值公式计算缺失值，并将其填充到 ts_interp 中。
5. **边界情况：**如果缺失日期前面或后面没有数据，则用后面的值或者前面的值填充
6. 返回结果： 最后，我们返回经过线性插值填充后的时间序列数据 ts_interp。

Python 代码演示

为了更直观地展示 Prophet 中线性插值的效果，我们来看一个具体的 Python 代码示例。假设我们有以下一组时间序列数据，其中包含一些缺失值：

data = {
    'ds': pd.to_datetime(['2023-01-01', '2023-01-02', '2023-01-03', '2023-01-05', '2023-01-06', '2023-01-08']),
    'y': [10, 12, 14, None, 18, None]
}
df = pd.DataFrame(data)
df = df.set_index('ds')
print(df)

输出：

            y
ds           
2023-01-01  10.0
2023-01-02  12.0
2023-01-03  14.0
2023-01-05   NaN
2023-01-06  18.0
2023-01-08   NaN

可以看到，2023-01-05 和 2023-01-08 两个日期的数据缺失了。现在，我们使用上面定义的 _linear_interpolation 函数来填充这些缺失值：

# 找出缺失日期的索引
missing_dates = df[df['y'].isnull()].index
 
# 使用线性插值填充缺失值
df_interp = _linear_interpolation(df['y'], missing_dates)
print(df_interp)

输出：

2023-01-01    10.0
2023-01-02    12.0
2023-01-03    14.0
2023-01-05    16.0
2023-01-06    18.0
2023-01-08    18.0
Name: y, dtype: float64

可以看到，经过线性插值后，2023-01-05 的缺失值被填充为 16.0（(14+18)/2），2023-01-08 的缺失值被填充为 18.0（因为后面没有数据，所以用前面的数据填充）。

总结与注意事项

通过本文的介绍，相信你已经对 Prophet 中的线性插值算法有了一个比较全面的了解。线性插值是一种简单而有效的数据填充方法，在很多情况下都可以取得不错的效果。但是，在使用线性插值时，也需要注意以下几点：

• 数据趋势： 线性插值假设数据在缺失点附近是线性变化的。如果数据的变化趋势比较复杂（比如存在明显的非线性关系），那么线性插值的结果可能不够准确。
• 缺失值比例： 如果缺失值的比例过高，那么线性插值的结果可能无法反映数据的真实情况。一般来说，缺失值的比例不宜超过 20%。
• 边界情况： 对于时间序列数据的开头和结尾处的缺失值，线性插值可能无法找到足够的信息来进行填充。在这种情况下，可以考虑使用其他方法（比如使用相邻值填充、使用均值填充等）。

总的来说，线性插值是一种非常实用的数据处理技巧，掌握它可以帮助你更好地处理时间序列数据中的缺失值问题。希望本文对你有所帮助，如果你有任何问题或者想进一步了解 Prophet 的其他功能，欢迎在评论区留言，序哥会尽力解答。

进阶思考

除了线性插值，Prophet 还支持其他的插值方法吗？

答：Prophet 主要使用线性插值来处理缺失值。虽然 Prophet 本身并没有直接提供其他插值方法的选项，但是你可以通过预处理数据的方式来实现其他插值方法，比如样条插值、多项式插值等。你可以使用 Pandas 或者 SciPy 等库中的插值函数来对数据进行预处理，然后再将处理后的数据输入到 Prophet 中进行预测。

Prophet 如何处理周期性缺失值？

答：如果你的数据存在周期性缺失（比如每周的某一天总是缺失数据），那么线性插值可能不是最佳选择。在这种情况下，你可以考虑使用 Prophet 的周期性组件来处理缺失值。Prophet 可以自动检测数据中的周期性模式，并将其纳入预测模型中。这样，即使某些日期的数据缺失，Prophet 也可以根据周期性模式来预测这些日期的值。