ECDH曲线选择：如何抵御侧信道攻击？

在密码学领域，椭圆曲线密码学（ECC）以其密钥短、安全性高的特性，广泛应用于各种安全协议，例如 TLS/SSL、VPN 和 SSH。而 ECDH（椭圆曲线 Diffie-Hellman）则是 ECC 的一个重要应用，用于密钥交换。然而，ECDH 的安全性并非无懈可击，侧信道攻击就是一种潜在的威胁。今天咱们就来聊聊侧信道攻击对 ECDH 曲线选择的影响，以及如何选择能够抵御此类攻击的曲线。

什么是侧信道攻击？

想象一下，你在银行 ATM 机上输入密码，旁边有个人没直接偷看你输的数字，却通过听你按键的声音、看你手指移动的幅度，甚至感受你身体散发的热量，来猜出你的密码。这就是侧信道攻击的思路！

传统的密码学攻击，主要关注算法本身的数学难题，比如大数分解、离散对数等等。而侧信道攻击，它不直接硬碰硬地去破解算法，而是另辟蹊径，通过分析密码系统在运行过程中泄露的“侧信道信息”来获取密钥。这些“侧信道信息”包括：

• 时间信息： 密码算法执行不同操作所需的时间差异。
• 功耗信息： 密码设备在执行不同操作时消耗的电能差异。
• 电磁辐射： 密码设备在运行时产生的电磁辐射变化。
• 声音信息： 密码设备在运行时产生的声音变化（虽然少见，但确实存在）。
• 错误信息： 密码设备在处理错误输入时产生的特定错误信息。

对于 ECDH 来说，最常见的侧信道攻击是时间攻击和功耗攻击。攻击者通过精确测量 ECDH 密钥交换过程中标量乘法运算的时间或功耗，来推断出私钥信息。因为标量乘法运算中，不同的私钥比特（0 或 1）会导致不同的运算路径和运算次数，从而在时间或功耗上留下可被利用的“痕迹”。

ECDH 与曲线选择

ECDH 的安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难解性。简单来说，ECDLP 就是：已知椭圆曲线上的一个点 P 和一个整数 k，计算 kP 很容易；但反过来，已知 P 和 kP，想要求出 k，在计算上是不可行的（当 k 足够大时）。

而 ECDH 密钥交换的过程，就是双方各自选择一个随机数作为私钥（比如 a 和 b），然后计算出公钥（aP 和 bP），并交换公钥。最后，双方各自用自己的私钥和对方的公钥计算出共享密钥（abP）。由于 ECDLP 的难解性，即使攻击者截获了 aP 和 bP，也无法计算出 abP。

那么，曲线选择和侧信道攻击有什么关系呢？

关系大了！不同的椭圆曲线，其上的点运算（加法、倍点）规则不同，实现的算法也不同，这直接影响了标量乘法运算的效率和安全性。如果曲线选择不当，或者标量乘法算法实现不佳，就可能更容易受到侧信道攻击。

哪些曲线容易受到攻击？

一般来说，具有以下特征的曲线更容易受到侧信道攻击：

1. 特殊形式的曲线： 某些特殊形式的曲线，比如 Montgomery 曲线和 Edwards 曲线，虽然在某些方面具有优势（比如运算速度快），但也可能存在一些特殊的性质，使得攻击者更容易利用侧信道信息。
2. 非恒定时间实现的曲线： 如果标量乘法算法的实现不是恒定时间的（即运算时间依赖于私钥），那么攻击者就可以通过时间攻击来获取私钥信息。
3. 存在可利用的特殊点： 某些曲线上可能存在一些特殊点，比如无穷远点、阶数较小的点等，如果算法实现没有正确处理这些特殊点，就可能导致侧信道攻击。

如何选择安全的曲线？

选择安全的曲线，需要综合考虑多个因素，包括安全性、性能和标准化程度。以下是一些建议：

1. 优先选择标准化曲线： 标准化曲线经过了广泛的密码学分析和安全审查，相对来说更可靠。常见的标准化曲线包括：
   • NIST 曲线： 美国国家标准与技术研究院（NIST）推荐的曲线，例如 P-256、P-384、P-521。
   • SECG 曲线： 高效密码学组标准（SECG）推荐的曲线，例如 secp256k1（比特币和以太坊使用的曲线）。
   • Curve25519 和 Curve448： Daniel J. Bernstein 设计的曲线，以其高效性和安全性而闻名。
2. 关注曲线的安全性参数：
   • 安全级别： 曲线的安全级别通常用比特数表示，例如 128 位、192 位、256 位等。一般来说，安全级别越高，抵抗暴力破解的能力越强，但也意味着运算量越大。
   • 嵌入次数： 嵌入次数是指 ECDLP 问题的难解程度与有限域上离散对数问题难解程度之间的关系。嵌入次数越小，安全性越高。
   • CM 判别式： CM 判别式与曲线的抗侧信道攻击能力有关。一般来说，CM 判别式越大，抵抗侧信道攻击的能力越强。
3. 选择恒定时间实现的算法：
   • 确保使用的 ECDH 库和标量乘法算法是恒定时间实现的，即运算时间不依赖于私钥。
   • 可以考虑使用一些专门为抗侧信道攻击设计的算法，例如 Montgomery Ladder 算法。
4. 注意特殊点的处理：

• 确保算法正确处理无穷远点和阶数较小的点，避免引入安全漏洞。
• 可以考虑使用一些点压缩技术，减少传输的数据量，降低侧信道攻击的风险。

5. 考虑使用安全多方计算（MPC）：
   • 如果对安全性要求极高，可以考虑使用安全多方计算（MPC）技术来实现 ECDH 密钥交换。MPC 可以将私钥分散到多个参与方，即使攻击者获取了部分参与方的侧信道信息，也无法恢复出完整的私钥。

举个栗子：Curve25519

Curve25519 是一个非常受欢迎的曲线，它具有以下优点：

• 高效性： Curve25519 的运算速度非常快，这得益于其特殊的曲线形式和高效的算法实现。
• 安全性： Curve25519 的安全级别为 128 位，足以抵抗当前的各种已知攻击。
• 抗侧信道攻击： Curve25519 的设计考虑了抗侧信道攻击，其标量乘法算法通常采用恒定时间实现。

因此，在很多场景下，Curve25519 都是一个不错的选择。

总结一下

选择 ECDH 曲线，不能只看性能，还要看安全性，特别是抗侧信道攻击的能力。 优先选择标准化曲线，关注曲线的安全性参数，选择恒定时间实现的算法，注意特殊点的处理，这些都是选择安全曲线的关键。记住，安全无小事，多花点心思在选择上，可以避免很多潜在的风险！

希望这篇文章能帮到你，如果你还有其他问题，尽管问我！